Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴，且过点（2，4）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知直线y=kx-2交抛物线于A、B两点，且AB的中点的横坐标为2，求弦AB的长．

Answer

（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由已知得：16=2p×2，则2p=8，由此能求出抛物线方程．
（2）由，得k2x2-（4k+8）x+4=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
【解析】
（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0）
由已知得：16=2p×2，则2p=8
故抛物线方程为y2=8x…（4分）
（2）由-（4k+8）x+4=0…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则△=（4k+8）2-16k2＞0，即k＞-1…（8分）
由韦达定理得：x1+x2=
又=4，解得：k=2或k=-1（舍）…（10分）
则|AB|=…（12分）