(1)由已知函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,且其定义域为[m-1,2m].根据偶函数定义域关于原点对称,且偶函数的定义中f(-x)=f(x)恒成立,我们可以构造一个关于m,n的方程组,解方程组即可得到m,n的值.
(2)由(1)中m,n的值,我们易得到函数的解析式,分析函数的图象及性质,结合函数的定义域,易求出函数f(x)在其定义域上的最大值.
【解析】
(1)∵函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,
∴函数的定义值关于原点对称,
又∵函数f(x)的定义域为[m-1,2m].
∴m-1+2m=0,解得m=
又由f(-x)=mx2-nx+3m+n=f(x)=mx2+nx+3m+n
可得n=0
(2)由(1)得函数的解析式为:f(x)=x2+1,定义域为[-,].
其图象是开口方向朝上,且以Y轴为对称轴的抛物线
当x=±时,f(x)取最大值