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已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点(1,3),且f(-1+x)=f(-1...

已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点(1,3),且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
(1)求f(x)与g(x)的解析式;
(2)若F(x)=g(x)-λf(x)在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
(1)将点的坐标代入函数解析式得到一个方程;利用函数满足的等式得到函数的对称轴,据二次函数的对称轴公式列出方程求出m,n;求出f(x)的解析式;利用相关点法求出g(x)的解析式. (2)利用函数在区间上单调,则导函数大于等于0恒成立,列出恒成立的不等式,分离参数,转化成求函数的最值 【解析】 (1)由题意知:1+m+n=3对称轴为x=-1故 解得m=2,n=0, ∴f(x)=x2+2x, 设函数y=f(x)图象上的任意一点Q(x,y)关于原点的对称点为P(x,y), 则x=-x,y=-y,因为点Q(x,y)在y=f(x)的图象上, ∴-y=x2-2x, ∴y=-x2+x, ∴g(x)=-x2+2x. (2)F(x)=-x2+2x-λ(x2+2x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x ∵F(x)在(-1,1]上是增函且连续,F'(x)=-2(1+λ)x+2(1-λ)≥0 即在({-1,1}]上恒成立, 由在(-1,1]上为减函数, 当x=1时取最小值0,故λ≤0,所求λ的取值范围是(-∞,0],
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考点分析:
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组号分组频数频率
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第2组[165,170)0.350
第3组[170,175)30
第4组[175,180)200.200
第5组[180,185)100.100
合计1001.00
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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