Question

若有穷数列{a_n} 满足条件a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1（i=1，2，…，n），则称数列{a_n} 为“对称数列”．例如，数列1，2，3，2，1与数列4，2，1，1，2，4都是“对称数列”．
（Ⅰ）设{b_n}是21项的“对称数列”，其中b₁，b₂，…，b₁₁是等比数列，且b₂=2，b₅=16，求{b_n}的所有项的和S；
（Ⅱ）设{c_n}是22项的“对称数列”，其中c₁₂，c₁₃，…，c₂₂是首项为22，公差为-2的等差数列，求{c_n}的前n项和T_n（1≤n≤22，n∈N^*）．

Answer

（I）求出前11项构成的等比数列的公比，利用等比数列的前n项和公式求出前11项的和乘以2再减去第11项即得到{bn}的所有项的和S．
（II）对n分段讨论，当1≤n≤11时以22为第11项，公差为2的等差数列，利用等差数列的前n项和求出{cn}的前n项和Tn，当12≤n≤22时，利用等差数列的前n项和求出前11项的和再加上以首项为22，公差为-2前n-11项的和
【解析】
（Ⅰ）设数列bn的公比为q，则b5=b2q3=2q3=16，解得q=2，
S=b1+b2+..+b21=2（b1+b2++b11）-b11=2（1+2+22++210）-210=2（211-1）-210=3070．（6分）
（Ⅱ）∵数列cn是“对称数列”，其中c12，c13，，c22是首项为22，公差为-2的等差数列，
∴c22=22-2×10=2，∴c1，c2，，c11是首项为2，公差为2的等差数列．
当1≤n≤11时，Tn=c1+c2+…+cn=，
当12≤n≤22时，Tn=c1+c2+..+cn=T11+（c12+c13++cn）==-n2+45n-242，
综上所述，（13分）