Question

如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB；已知VA=kAB，点E是VC的中点，底面正方形ABCD边长为2a，高为h．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当k取何值时，∠BED是二面角B-VC-D的平面角，并求二面角B-VC-D的余弦值．

Answer

（Ⅰ）给出各点的坐标，求出两个向量=（），=（），利用数量积公式即可求解；
（Ⅱ）假设，∠BED是二面角B-VC-D的平面角可得，，，代入坐标解得引入的参数的关系，再代入二面角B-VC-D的余弦公式即可求值
【解析】
（I）由题意知B（a，a，0），C（-a，a，0），D（-a，-a，0），
E（，，）由此得：=（），=（）
∴=（3分）
=（5分）
由向量的数量积公式有：
cos＜，＞===（7分）
（II）若∠BED是二面角B-VC-D的平面角，则
∴，（8分）
由C（-a，a，0），V（0，0，h）有=（a，-a，h）
又=（），
∴解得：h=a（10分）
∴cos＜，＞===（12分）
又VA=kAB且AB=2a
从而k=1反之成立（13分）
因此当k=1时，∠BED是二面角B-VC-D的平面角，且二面角B-VC-D的余弦值为．（14分）