Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过对角线BD₁的一个平面交AA₁于E，交CC₁于F，则
①四边形BFD₁E一定是平行四边形；
②四边形BFD₁E有可能是正方形；
③四边形BFD₁E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD₁E有可能垂直于平面BB₁D₁．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③
B．①③
C．①④
D．①③④

Answer

根据面面平行和正方体的几何特征进行判断，利用一些特殊情况进行说明．
【解析】
如图：
①由平面BCB1C1∥平面ADA1D1，并且B、E、F、D1四点共面，
∴ED1∥BF，同理可证，FD1∥EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故①正确；
②若BFD1E是正方形，有ED1⊥BE，这个与A1D1⊥BE矛盾，故②错误；
③由图得，BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故③正确；
④当点E和F分别是对应边的中点时，平面BFD1E⊥平面BB1D1，故④正确．
故选D．