Question

已知函数f（x）=x（x-2）²+1，x∈R
（1）求函数f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）在区间[t，t+2]上的最大值．

Answer

（1）把f（x）化简后，求出f（x）的导函数，令导函数大于0列出不等式，求出不等式的解集即为函数的增区间；令导函数小于0列出不等式，求出不等式的解集即为函数的减区间，根据函数的增减性即可得到函数的极值；
（2）分三种情况：x=在区间[t，t+2]的左边，右边及中间，根据（1）中求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求出相应的t范围中函数的最大值，联立即可得到f（x）最大值与t的分段函数关系式．
【解析】
（1）f（x）=x3-4x2+4x+1
∵f'（x）=3x2-8x+4=（3x-2）（x-2），
∴函数f（x）的单调递增区间为和（2，+∞），f（x）的单调递减区间为，
所以为f（x）的极大值点，极大值为x=2为f（x）的极小值点，极小值为f（2）=1．（7分）
（2）①当即时，函数f（x）在区间[t，t+2]上递增，
∴f（x）max=f（t+2）=t3+2t2+1；
②当即时，
函数f（x）在区间上递增，在区间上递减，
∴；
③当时，f（x）max=max{f（t），f（t+2）}，
令f（t）≥f（t+2），则t（t-2）2≥（t+2）t2，t（6t-4）≤0，得，
所以当，f（t）＜f（t+2），f（x）max=f（t+2）=t3+2t2+1，
所以．