Question

如图四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，侧棱与底边长均为a，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°．
①求证四棱锥A₁-ABCD为正四棱锥；
②求侧面A₁ABB₁与截面B₁BDD₁的锐二面角大小．

Answer

（1）欲证四棱锥A1-ABCD是正四棱锥，设A1在底面ABCD的射影为O，即证O是底面正方形ABCD的中心即可，而O是Rt△ABD的外心，因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，该中点就是正方形的中心；
（2）取AA1的中点M，根据定义可知∠MBD是所求二面角的平面角，然后在三角形MBD中求解此角即可．
【解析】
（1）由AA1=AD=AB，及∠A1AD=∠A1AB=60°⇒△A1AD、△AA1B都是正三角形，
从而AA1=A1D=A1B，设A1在底面ABCD的射影为O，则由斜线长相等推出射影长也相等，
所以O是Rt△ABD的外心，因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，
所以O是底面正方形ABCD的中心．所以四棱锥A1-ABCD是正四棱锥．

（2）由DB⊥平面AA1O⇒截面BB1D1D⊥平面AA1O⇒点O与侧棱AA1的距离d等于AA1和截面BB1D1D之间的距离．
取AA1的中点M，则OM∥A1C，且OM⊥AA1，OM=A1C=a，
∴所求距离为a．注意到所求二面角的棱是B1B，
由M是AA1的中点⇒MB⊥AA1，B1B∥AA1⇒MB⊥B1B，又DB⊥AA1，AA1∥B1B⇒DB⊥B1B，
∴∠MBD是所求二面角的平面角．不妨设AB=a=2，则BD=2，MB=MD=，
∴tan∠MBD=．
∴侧面A1ABB1与截面B1BDD1的夹角为arctan．