Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当
（1）求f（x）的解析式
（2）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性
（3）设g（x）是函数f（x）在区间（0，+∞）上的导函数．若a＞1且g（x）在区间上的值域为，求a的值．

Answer

（1）由f（x）是定义在R上的奇函数得f（0）=0，再设x＜0，则-x＞0，由求得整个定义域上的解析式；
（2）可选用导数法，由若导数大于零，则对应的区间为增区间，若导数小于零，则对应的区间为减区间判断．
（3）由（1）当可得g（x）=f'（x）=2x-x2=-（x-1）2+1，再利用二次函数求值域的方法求解．
【解析】
（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（0）=0（1分）
又∵
∴当x＜0时-x＞0
∴（3分）

（2）由（1）知当x∈（-∞，0）时，，∴f'（x）=-2x-x2（4分）
令f'（x）=0得x=-2或x=0
当x∈（-∞，-2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数
当x∈（-2，0）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数
∴f（x）在区间（-∞，-2）上是减函，数在（-2，0）上是增函数．（7分）

（3）∵当x＞0时，
∴g（x）=f'（x）=2x-x2=-（x-1）2+1
又∵a＞1
∴g（x）在区间上，当x=1时g（x）取得最大值1．
当时，，由得
当时，g（x）min=g（a）=2a-a2
由得或或
∴所求的a的值为（12分）