Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧棱与底面垂直，且侧棱长为，点D₁为A₁C₁中点．
（1）求证：直线BC₁∥平面AB₁D₁
（2）求三棱锥B-AB₁D₁的体积．
（3）若D为AC中点，P在线段D₁D上．
试确定P点位置，使平面PAB₁⊥平面ABB₁A₁

Answer

（1）连A1B交AB1于O点，连OD1在△A1BC1中，由三角形中位线得到OD1∥BC1，再由线面平行的判定定理得到直线BC1∥平面AB1D1
（2）由面A1B1C1⊥面A1B1AB，过D1点作D1M⊥A1B1垂足为M，线段D1M的长为三棱锥D1-ABB1的高，再由体积公式求解．
（3）如图：要使平面PAB1⊥平面ABB1A1只需使PQ⊥平面ABB1A1，就可以了．
（1）证明：
连A1B交AB1于O点，连OD1在△A1BC1中，
∵O，D1分别为A1B，A1C1的中点．
∴OD1是△A1BC1的中位线
∴OD1∥BC1
又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊂平面AB1D1
∴BC1∥平面AB1D1（4分）

（2）【解析】
过D1点作D1M⊥A1B1垂足为M
依题意得D1M⊥平面ABB1A1
∴线段D1M的长为三棱锥D1-ABB1的高
且
∴
=（8分）

（3）过M点作MN⊥AB，垂足为N，连DN
依题意可知四边形MNDD1为矩形
且DN⊥平面ABB1A1
∵D为AC中点∴
设MN∩AB1=Q连PQ
要使平面PAB1⊥平面ABB1A1
只需使PQ⊥平面ABB1A1
∴PQ∥DN∴四边形QNDP为矩形∴QN=PD
又∵MN∥B1B∴QN∥B1B
∴∴PD=QN=
∴P为D1D的四等分点且PD=（12分）