Question

已知直线x+y-1=0与椭圆（a＞b＞0）相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，=-，且点M在直线l：y=上，
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆x²+y²=1上，求椭圆的方程．

Answer

（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由题中的直线方程与椭圆联解消去y，得（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0，由根与系数的关系得x1+x2=，进而得到y1+y2=，因此算出AB中点M（，），根据点M在直线y=上建立关系式得到a2=2b2，由此即可算出该椭圆的离心率的值；
（2）由（1）的结论，设椭圆的一个焦点F（b，0）关于直线l：y=的对称点为Q（x，y），根据PQ被直线l垂直且平分建立方程组，解之得到x=且y=，结合点Q在单位圆上，得到关于b的方程并解之得b=1，由此即可得到所求椭圆方程．
【解析】
设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
（ 1）由=-，可得M是AB的中点，…（1分）
由消去y，得：（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0…（4分）
∴x1+x2=，可得y1+y2=2-（x1+x2）=2-=…（5分）
因此，点M的坐标为（，）
又∵点M在直线l：y=上，∴=×…（6分）
化简得a2=2b2=2（a2-c2），可得a=，所以椭圆的离心率e==…（7分）
（2）由（1）得b=c，不妨设椭圆的一个焦点坐标为F（b，0）
设F（b，0）关于直线 l：y=的对称点为Q（x，y），…（8分）
则，解之得：…（11分）
结合已知=1，可得，解之得b=1（舍负）…（13分）
因此，所求的椭圆的方程为…（14分）