Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n（n∈N*），a₁=1且
（1）求数列{a_n}的通项公式；．

Answer

（1）将转化为 2Sn•Sn-1=Sn-1-Sn两边同除以Sn•Sn-1得2=-构造数列{}是以1为首项，以2为公差的等差数列，求其通项公式，再据Sn与an的关系求数列{an}的通项公式
（2），不等式左端无法进一步整理化简，又是与自然数有关，考虑用数学归纳法证明．
【解析】
（1）∵a1=1且
即（n≥2）
  2Sn•Sn-1=Sn-1-Sn两边同除以Sn•Sn-1得
2=-∴数列{}是以1为首项，以2为公差的等差数列．
∴=1+2（n-1）=2n-1
∴Sn=，
当n=1时，a1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1==
∴an=
（2）
用数学归纳法证明：
当n=1时，=，不等式成立． ①
假设当n=k（k≥2）时成立，即有
那么当n=k+1时=
下证＞成立．
只需证
两边平方即为    ，两边减去1得
即证8（k+1）2＞4k2+4k+1，
即4k2+12k+7＞0，显然成立②
 由①②可知，原不等式对任意正整数n都成立．