Question

若函数f（x）=x³+a|x²-1|，a∈R，则对于不同的实数a，则函数f（x）的单调区间个数不可能是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．5个

Answer

先令a=0，即可排除A，再将函数化为分段函数，并分段求其导函数，得f′（x），最后利用分类讨论，通过画导函数f′（x）的图象判断函数f（x）的单调区间的个数，排除法得正确判断
【解析】
依题意：（1）当a=0时，f（x）=x3，在（-∞，+∞）上为增函数，有一个单调区间     ①
当a≠0时，∵f（x）=x3+a|x2-1|a∈R
∴f（x）=
∴f′（x）=
（2）当0＜a＜时，∵-＜-＜0，0＜＜，∴导函数的图象如图1：（其中m为图象与x轴交点的横坐标）
∴x∈（-∞，0]时，f′（x）＞0，x∈（0，m）时，f′（x）＜0，x∈[m，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x∈（-∞，0]时，单调递增，x∈（0，m）时，单调递减，x∈[m，+∞）时，单调递增，有3个单调区间    ②
（3）当a≥3时，∵-＜-1，＞1，∴导函数的图象如图2：（其中n为x≤-1时图象与x轴交点的横坐标）
∴x∈（-∞，n]时，f′（x）＞0，x∈（n，-1]时，f′（x）＜0，x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，x∈[0，1）时，f′（x）＜0，x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0
∴函数f（x）在x∈（-∞，n]时，单调递增，x∈（n，-1]时，单调递减，x∈（-1，0）时，单调递增，x∈[0，1）时，单调递减，x∈[1，+∞）时，单调递增，
有5个单调区间       ③
由①②③排除A、C、D，
故选B