Question

如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E，F，G，H分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设，（λ≠0）．
（Ⅰ）求直线EP与GQ的交点M的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）过圆x²+y²=r²（0＜r＜2）上一点N作圆的切线与轨迹Γ交于S，T两点，若，试求出r的值．

Answer

（Ⅰ）交轨法：设M（x，y），由向量关系可得P、Q点的坐标，用λ表示出直线EP、GQ的方程，消掉参数λ即得点M的轨迹方程；
（Ⅱ）由，得|NS||NT|=|ON|2，又由ON⊥ST，得OS⊥OT，设S（x1，y1），T（x2，y2），则x1x2+y1y2=0（*），设直线ST：y=kx+m（m≠±2），与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，把韦达定理代入（*得）式得关于k，m的方程；再由直线ST与圆相切得r=，两方程联立即可求得r值；
【解析】
（I）设M（x，y），由已知得P（4λ，0），Q（4，2-2λ），
则直线EP的方程为y=-2，直线GQ的方程为y=-+2，
消去λ即得M的轨迹Γ的方程为．
（II）由，得|NS||NT|=|ON|2，又ON⊥ST，则OS⊥OT，
设直线ST：y=kx+m（m≠±2），代入得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0，
设S（x1，y1），T（x2，y2），
则，．
由OS⊥OT得x1x2+y1y2=0，即km（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0，
则5m2=16（1+k2）①，
又O到直线ST的距离为r=②，
联立①②解得r=∈（0，2）．
经检验当直线ST的斜率不存在时也满足．
故r的值为．