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如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E,F,G,H分别为四边的中点,且都...

如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E,F,G,H分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网(λ≠0).
(Ⅰ)求直线EP与GQ的交点M的轨迹Γ的方程;
(Ⅱ)过圆x2+y2=r2(0<r<2)上一点N作圆的切线与轨迹Γ交于S,T两点,若manfen5.com 满分网,试求出r的值.

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(Ⅰ)交轨法:设M(x,y),由向量关系可得P、Q点的坐标,用λ表示出直线EP、GQ的方程,消掉参数λ即得点M的轨迹方程; (Ⅱ)由,得|NS||NT|=|ON|2,又由ON⊥ST,得OS⊥OT,设S(x1,y1),T(x2,y2),则x1x2+y1y2=0(*),设直线ST:y=kx+m(m≠±2),与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程,把韦达定理代入(*得)式得关于k,m的方程;再由直线ST与圆相切得r=,两方程联立即可求得r值; 【解析】 (I)设M(x,y),由已知得P(4λ,0),Q(4,2-2λ), 则直线EP的方程为y=-2,直线GQ的方程为y=-+2, 消去λ即得M的轨迹Γ的方程为. (II)由,得|NS||NT|=|ON|2,又ON⊥ST,则OS⊥OT, 设直线ST:y=kx+m(m≠±2),代入得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0, 设S(x1,y1),T(x2,y2), 则,. 由OS⊥OT得x1x2+y1y2=0,即km(x1+x2)+(1+k2)x1x2+m2=0, 则5m2=16(1+k2)①, 又O到直线ST的距离为r=②, 联立①②解得r=∈(0,2). 经检验当直线ST的斜率不存在时也满足. 故r的值为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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