Question

已知，设函数．
（Ⅰ）当，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）当时，若f（x）=8，求函数的值．

Answer

（I）根据向量数量积的坐标公式和模的公式代入，再用二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化简，得f（x）=5sin（2x+）+5，根据得2x+∈[，]，结合正弦函数的图象与性质，可得函数f（x）的值域；
（II）根据f（x）=8，得sin（2x+）=，再利用配角公式算出sin2x的值，而=5sin2x+5，将sin2x代入即得的值．．
【解析】
（I）∵=5sinxcosx+2cos2x，=sin2x+4cos2x
∴=5sinxcosx+2cos2x+sin2x+4cos2x+
=sin2x+3（1+cos2x）+（1-cos2x）+
=sin2x+cos2x+5=5sin（2x+）+5
∵，∴2x+∈[，]
因此，-≤sin（2x+）≤1，可得函数f（x）的值域是[，10]．…（6分）
（Ⅱ）由（I）得5sin（2x+）+5=8，得sin（2x+）=
∵，∴2x+∈[，]
∴，…（10分）
∴sin2x=sin[（2x+）-]=•-（-）•=
因此，=．…（12分）