Question

三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形．已知点A是椭圆的一个短轴端点，如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

设椭圆的方程为，直线AB方程为y=kx+b（k＞0），两方程联解得到B的横坐标为-，从而得|AB|=•，同理得到|AC|=•．根据|AB|=|AC|建立关于k、a、b的方程，化简整理得到（k-1）[b2k2+（b2-a2）k+b2]=0，结合题意得该方程有三个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式建立关于a、b的不等式，解之即得c2＞2b2，由此结合a2=b2+c2即可解出该椭圆的离心率的取值范围．
【解析】
设椭圆的方程为（a＞b＞0），
根据BA、AC互相垂直，设直线AB方程为y=kx+b（k＞0），AC方程为y=-x+b
由，消去y并化简得（a2k2+b2）x2+2ka2bx=0
解之得x1=0，x2=-，可得B的横坐标为-，
∴|AB|=|x1-x2|=•．
同理可得，|AC|=•
∵△ABC是以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形，
∴|AB|=|AC|即•=•，
化简整理，得b2k3-a2k2+a2k-b2=0，分解因式得：（k-1）[b2k2+（b2-a2）k+b2]=0…（*）
方程（*）的一个解是k1=1，另两个解是方程b2k2+（b2-a2）k+b2=0的根
∵k1=1不是方程b2k2+（b2-a2）k+b2=0的根，
∴当方程b2k2+（b2-a2）k+b2=0有两个不相等的正数根时，方程（*）有3个不相等的实数根
相应地，以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形也有三个．
因此，△=（b2-a2）2-2b4＞0且，化简得c2＞2b2
即3c2＞2a2，两边都除以3a2得＞，
∴离心率e满足e2＞，解之得e＞，结合椭圆的离心率e＜1，得＜e＜1
故选：D