Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．
（1）确定a与b的关系；
（2）试讨论函数g（x）的单调性；
（3）证明：对任意n∈N^*，都有ln（1+n）＞成立．

Answer

（1）求导得到g′（x），利用导数的几何意义即可得出；
（2）利用（1）用a表示b，得到g′（x），通过对a分类讨论即可得到其单调性；
（3）证法一：由（2）知当a=1时，函数g（x）=lnx+x2-3x在（1，+∞）单调递增，可得lnx+x2-3x≥g（1）=-2，即lnx≥-x2+3x-2=-（x-1）（x-2），
令，则，利用“累加求和”及对数的运算法则即可得出；
证法二：通过构造数列{an}，使其前n项和Tn=ln（1+n），则当n≥2时，，显然a1=ln2也满足该式，
故只需证，令，即证ln（1+x）-x+x2＞0，记h（x）=ln（1+x）-x+x2，x＞0，再利用（2）的结论即可；
证法三：令φ（n）=ln（1+n）-，则=，
令，则x∈（1，2]，，记h（x）=lnx-（x-1）+（x-1）2=lnx+x2-3x+2，利用（2）的结论即可．
【解析】
（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，
则，
由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=-2a-1．
（2）由（1）得=，
∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），
∴①当a≤0时，2ax-1＜0在（0，+∞）上恒成立，
由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，
即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
②当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，
若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，
即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；
若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，
即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；
若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
综上得：当a≤0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；
当时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
（3）证法一：由（2）知当a=1时，函数g（x）=lnx+x2-3x在（1，+∞）单调递增，∴lnx+x2-3x≥g（1）=-2，即lnx≥-x2+3x-2=-（x-1）（x-2），
令，则，
∴+…+＞+…+，
∴，
即．
证法二：构造数列{an}，使其前n项和Tn=ln（1+n），
则当n≥2时，，
显然a1=ln2也满足该式，
故只需证，
令，即证ln（1+x）-x+x2＞0，记h（x）=ln（1+x）-x+x2，x＞0，
则，h（x）在（0，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（0）=0，
∴成立，
以下同证法一．
证法三：令φ（n）=ln（1+n）-，
则=，
令，则x∈（1，2]，，记h（x）=lnx-（x-1）+（x-1）2=lnx+x2-3x+2，
∵∴函数h（x）在（1，2]单调递增，
又h（1）=0，∴当x∈（1，2]时，h（x）＞0，即φ（n+1）-φ（n）＞0，
∴数列φ（n）单调递增，又φ（1）=ln2＞0，∴即．