Question

已知函数为常数），数列{a_n}满足：，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）当α=1时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，证明对∀n∈N*有：；
（3）若α=2，且对∀n∈N*，有0＜a_n＜1，证明：．

Answer

（1）当α=1时，说明数列是以为首项，1为公差的等差数列，然后求数列{an}的通项公式；
（2）法一：在（1）的条件下，化简数列的通项公式，利用裂项法：证明对∀n∈N*有：；
法二：直接利用数学归纳法的证明步骤证明即可．
（3）法一：通过α=2，化简an+1-an的表达式为，利用基本不等式直接证明．
法二：通过，以及0＜an＜1，说明，an∈[，1），n∈N*，构造函数，利用函数的导数，求出函数的最大值即可证明结果．
【解析】
（1）当α=1时，，两边取倒数，得，----（2分）
故数列是以为首项，1为公差的等差数列，，，n∈N*．--------------（4分）
（2）证法1：由（1）知，故对k=1，2，3…=-------------（6分）
∴a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2
=
==．------------------------------（9分）．
[证法2：①当n=1时，等式左边=，
等式右边=，左边=右边，等式成立；-------------------------（5分）
②假设当n=k（k≥1）时等式成立，
即，
则当n=k+1时
=
=
这就是说当n=k+1时，等式成立，----------------------------------------（8分）
综①②知对于∀n∈N*有：．----（9分）]
（3）当α=2时，则，-------------------（10分）
∵0＜an＜1，
∴--------------------------------（11分）===．--------------------（13分）
∵an=1-an与不能同时成立，∴上式“=”不成立，
即对∀n∈N*，．-----------------------------------------------------------（14分）
证法二：当α=2时，，
则----------------------------------------------------（10分）
又0＜an＜1，∴，
∴an+1＞an，∴an∈[，1），n∈N*------------------------------------------------（11分）
令，则，--------------------------（12分）
当，所以函数g（x）在单调递减，故当，所以命题得证------------------（14分）
所以命题得证-----------------------------------------（14分）