Question

已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P-ABC的体积为，则该球的体积为（ ）
A．
B．2π
C．
D．

Answer

设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．
【解析】
设该球的半径为R，
则AB=2R，2AC=AB=，
∴AC=R，
由于AB是球的直径，
所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2=R2，
所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，
又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P-ABC的体积为，
∴VP-ABC==，
即R3=9，R3=3，
所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．
故选D．