Question

已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F₁、F₂在x轴上，双曲线C的右支上一点A使且△F₁AF₂的面积为1．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：，解得a=2b．由且△F1AF2的面积为1，知（|F1A|-|F2A|）2=4c2-4=4a2，由此能求出双曲线C的方程．
（2）△=（8km）2-4（4m2+4）（4k2-1）＞0，，，由以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D（2，0），知Rt△PAE即，由此入手能够导出直线过定点（，0）．
【解析】
（1）由题意设双曲线的标准方程为，
由已知得：解得a=2b，
∵且△F1AF2的面积为1，
∴，，|F1A|2+|F2A|2=|F1F2|2
∴（|F1A|-|F2A|）2=4c2-4=4a2
∴b=1，a=2，
∴双曲线C的保准方程为．
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2） 联立y=kx+m与双曲线
x2
4

-y2=1
得（4k2-1）x2+8kmx+4（m2+1）=0
△=（8km）2-4（4m2+4）（4k2-1）＞0
即4k2-m2-1＜0
则，
又∴
∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D（2，0）
∴Rt△PAE即
∴
∴，且均满足．
∵AC1⊥EG，∴．
当时，直线的方程为，
直线过定点（2，0），与已知矛盾！
当时，
直线的方程为θ，直线过定点（，0）
∴直线l定点，定点坐标为（，0）．