Question

定义：过双曲线焦点的直线与双曲线交于A、B两点，则线段AB成为该双曲线的焦点弦．已知双曲线-=1，那么过改双曲线的左焦点，长度为整数且不超过2012的焦点弦条数是（ ）
A．4005
B．4018
C．8023
D．8036

Answer

双曲线-=1中，左焦点F1（-，0）．双曲线过左焦点的焦点弦可以分为两类：第一类，端点均在左支上，最短的为通径，第二类，端点分别在两支，最短为实轴．由此入手能够求出结果．
【解析】
双曲线-=1中，a2=25，b2=9，c2=34，
左焦点F1（-，0）
双曲线过左焦点的焦点弦可以分为两类：
第一类，端点均在左支上，最短的为通径，
将x=-代入椭圆方程，得
y2=，|y|=，∴通径长为2|y|==3.6，
∵长度为整数且不超过2012，
∴符合条件的焦点弦长为4，5，6，…，2012，
根据对称性每个弦长对应2条弦，共2×（2012-3）=4018．
第二类，端点分别在两支，最短为实轴，
2a=10，符合题意的弦长：10，11，12，…，2012，
弦长为10的只有1条，其它的对应2条，
∴满足条件的弦共有：1+2（2012-10）=4005，
两类合计共4018+4005=8023条．
故选C．