Question

如图，从A₁（1，0，0），A₂（2，0，0），B₁（0，1，0，）B₂（0，2，0），C₁（0，0，1），C₂（0，0，2）这6个点中随机选取3个点．
（1）求着3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
（2）求着3点与原点O共面的概率．

Answer

根据题意，分情况讨论，列举可得从6点中随机取出3个点的情况数目，
（1）由正三棱锥的定义，在列举的结果中分析可得选取的3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案；
（2）根据题意，在列举的结果中分析可得选取的3点与原点O共面的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
【解析】
从这6点中随机取出3个点，其所有的情况有
x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种情况，
y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种情况，
Z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种情况，
3个点在不同的坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种情况，
则从这6点中随机取出3个点，其所有的情况共有4+4+4+12=20种，
（1）选取的3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的情况有A1B1C1，A2B2C2，共2种，
则其概率P1==，
（2）选取的3点与原点O共面的情况，有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2B2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，
则选取的3点与原点O共面的概率P2==．