Question

在x轴的正方向上，从左向右依次取点列 {A_j}，j=1，2，…，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列{B_k}，k=1，2，…，使△A_k-1B_kA_k（k=1，2，…）都是等边三角形，其中A是坐标原点，则第2011个等边三角形的边长是    ．

Answer

由题设△Ak-1BkAk（k=1，2，…）都是等边三角形，设第n个等边三角形的边长为an．则可得出第n个等边三角形的在抛物线上的顶点Bn的坐标为（，）．再在第n个正三角形中求出它的高即可得到点Bn的纵坐标的另一种表示为．由此得到恒等式，利用此恒等式即可解出an=n，从而得到第2011个等边三角形的边长．
【解析】
（1）设第n个等边三角形的边长为an．则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点Bn的坐标为（，）．
再从第n个等边三角形中，可得Bn的纵坐标为．
从而有，
即有．
由此可得①
以及②
①-②即得．
变形可得（an-an-1-1）（an+an-1）=0．
由于an+an-1≠0，所以an-an-1=1．
在①式中取n=1，可得，而a1≠0，故a1=1．所以an=n
∴第2011个等边三角形的边长 a2011=2011
故答案为2011