Question

设A是如下形式的2行3列的数表，

a	b	c
d	e	f

满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[-1，1]，且a+b+c+d+e+f=0．
记r_i（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），C_j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r₁（A）|，|r₂（A）|，|c₁（A）|，|c₂（A）|，|c₃（A）|中的最小值．
（1）对如下数表A，求k（A）的值

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

（2）设数表A形如

1	1	-1-2d
d	d	-1

其中-1≤d≤0．求k（A）的最大值；
（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值．

Answer

（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），Cj（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可求出所求；
（2）k（A）的定义可求出k（A）=1+d，然后根据d的取值范围可求出所求；
（III）任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）
因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，然后利用不等式的性质可知3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A），从而求出k（A）的最大值．
【解析】
（1）因为r1（A）=1.2，r2（A）=-1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=-1.8，
所以k（A）=0.7
（2）r1（A）=1-2d，r2（A）=-1+2d，c1（A）=c2（A）=1+d，c3（A）=-2-2d
因为-1≤d≤0，
所以|r1（A）|=|r2（A）|≥1+d≥0，|c3（A）|≥1+d≥0
所以k（A）=1+d≤1
当d=0时，k（A）取得最大值1
（III）任给满足性质P的数表A（如下所示）

          a             b           c
         d             e           f

任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）
因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，
由k（A）的定义知，k（A）≤r1（A），k（A）≤c1（A），k（A）≤c2（A），
从而3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A）=（a+b+c）+（a+d）+（b+e）=（a+b+c+d+e+f）+（a+b-f）=a+b-f≤3
所以k（A）≤1
由（2）可知，存在满足性质P的数表A使k（A）=1，故k（A）的最大值为1．