已知函数y=f（x）对任意的实数ab都有：f（a+b）=f（a）+f（b）-1，...

已知函数y=f（x）对任意的实数ab都有：f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且x＞0时，f（x）＞1，
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若f（4）=5，求f（2）的值，并解不等式f（3m²-m-2）＜3．

（1）设x1＜x2，利用函数单调性的定义作差结合已知条件判断符号即可；（2）利用f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5即可求得f（2）=3，再利用其单调递增的性质脱掉“f”，解关于m的不等式即可．【解析】（1）证明：∵f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且x＞0时，f（x）＞1，设x1＜x2，则x2-x1＞0，f（x2-x1）＞1， ∴f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-1-f（x1）=f（x2-x1）-1＞1-1=0， ∴f（x）是R上的增函数；（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5， ∴f（2）=3． ∴f（3m2-m-2）＜3=f（2），又f（x）是R上的增函数； ∴3m2-m-2＜2， ∴-1＜m＜ ∴不等式f（3m2-m-2）＜3的解集为：{m|-1＜m＜}．

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考点分析：

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