Question

已知椭圆C：，直线l与椭圆C相交于A、B两点，（其中O为坐标原点）．
（1）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．

Answer

（Ⅰ）点O到直线AB的距离是定值．设A（x1，x2），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，x1=x2，y1=-y2，此时点O到直线AB的距离d=|x1|=；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆C：联立，得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由根与系数的关系得到O到直线AB的距离d==．由此能求出点O到直线AB的距离为定值．
（Ⅱ）（法一：参数法）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-，解方程组，得，同理可求得，由此能推导出|OA|•|OB|的最小值．
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直线AB的距离．在Rt△OAB中，d=，故有=，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．
法三：（三角函数法）由（Ⅰ）知，在Rt△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=．设∠OAH=θ，则∠BOH=θ，故|OA|=，|OB|=．所以，|OA|×|OB|==，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．
【解析】
（Ⅰ）点O到直线AB的距离是定值．
设A（x1，x2），B（x2，y2），
①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，x1=x2，y1=-y2，
∵，即x1x2+y1y2=0，也就是，代入椭圆方程解得：．
此时点O到直线AB的距离d=|x1|=．…（2分）
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，
与椭圆C：联立，
消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
∵，，…（3分）
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，
所以（1+k2），…（4分）
代入得：，
整理得5m2=4（k2+1），…（5分）
O到直线AB的距离d==．
综上所述，点O到直线AB的距离为定值．…（6分）
（Ⅱ）（法一：参数法）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-，
解方程组，得，
同理可求得，
故
=．…（9分）
令1+k2=t（t＞1），则|OA|•|OB|=4=4，
令=-9（t＞1），所以4＜g（t）≤，即．…（11分）
当k=0时，可求得|OA|•|OB|=2，故，故|OA|•|OB|的最小值为，最大值为2．…（13分）
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直线AB的距离．
在Rt△OAB中，d=，故有=，
即，…（9分）
而|OA|2+|OB|2≥2|OA|×|OB，（当且仅当|OA|=|OB|时取等号）
代入上式可得：，
即，（当且仅当|OA|=|OB|时取等号）．…（11分）
故|OA|•|OB|的最小值为．…（13分）
法三：（三角函数法）由（Ⅰ）可知，如图，在Rt△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=．
设∠OAH=θ，则∠BOH=θ，故|OA|=，|OB|=．…（9分）
所以，|OA|×|OB|==，…（11分）
显然，当2θ=，即时，|OA|•|OB|取得最小值，最小值为．…（13分）