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已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱BB1的中点,M为线段...

已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.
求证:
(Ⅰ)直线MF∥平面ABCD;
(Ⅱ)平面AFC1⊥平面ACC1A1

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(1)延长C1F交CB的延长线于点N,由三角形的中位线的性质可得MF∥AN,从而证明MF∥平面ABCD. (2)由A1A⊥BD,AC⊥BD,可得BD⊥平面ACC1A1,由DANB为平行四边形,故NA∥BD,故NA⊥平面ACC1A1,从而证得平面AFC1⊥ACC1A1. (本小题满分12分) 证明:(Ⅰ)延长C1F交CB的延长线于点N,连接AN.因为F是BB1的中点, 所以,F为C1N的中点,B为CN的中点.又M是线段AC1的中点, 故MF∥AN.又MF不在平面ABCD内,AN⊂平面ABCD,∴MF∥平面ABCD. (Ⅱ)连BD,由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 , 可知A1A⊥平面ABCD,又∵BD⊂平面ABCD,∴A1A⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A=A, AC,A1A⊂平面ACC1A1,∴BD⊥平面ACC1A1. 在四边形DANB中,DA∥BN且DA=BN,所以四边形DANB为平行四边形, 故NA∥BD,∴NA⊥平面ACC1A1,又因为NA⊂平面AFC1, ∴平面AFC1⊥ACC1A1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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