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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(x∈R,a≠0),-2是f(x)的一...

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(x∈R,a≠0),-2是f(x)的一个零点,又f(x)在x=0处有极值,在区间(-6,-4)和(-2,0)上是单调的,且在这两个区间上的单调性相反.
(1)求c的值;
(2)求manfen5.com 满分网的取值范围;
(3)当b=3a时,求使A={y|y=f(x),-3≤x≤2},A⊆[-3,2]成立的实数a的取值范围.
(1)求出函数f(x)的导函数,由题意得f'(0)=0即可得到c=0; (2)由(1)得,f'(x)=3ax2+2bx=x(3ax+2b),f′(x)的零点为x=0或,再根据f(x)在区间(-6,-4)和(-2,0)上的单调且单调性相反,列出不等式组,化简得,故; (3)将b=3a代入到f'(x)中,化简得f'(x)的零点为x=0或-2,讨论当a>0和当a<0时f'(x)的情况,可以得出两种情况下f(x)在区间[-3,2]上的取值范围,最后根据不等式-3≤f(x)≤2恒成立,化简即得实数a的取值范围. 【解析】 (1)∵f(x)=ax3+bx2+cx+d,f'(x)=3ax2+2bx+c,f(x)在x=0有极值, ∴f'(0)=0即c=0 (2)f'(x)=3ax2+2bx,由f'(x)=x(3ax+2b)=0, 得x=0或f(x)在区间(-6,-4)和(-2,0)上单调且单调性相反,故. (3)b=3a,且-2是f(x)的一个零点,f(-2)=-8a+12a+d=0,d=-4af(x)=ax3+3ax2-4a, f′(x)=3ax2+6ax=3ax(x+2)由f'(x)=0得x=0或x=-2 ①当a>0时 x -3 (-3,-2) -2 (-2,0) (0,2) 2 f'(x) + - + f(x) -4a ↗ ↘ -4a ↗ 16a 所以 当a>0时,若-3≤x≤2,则-4a≤f(x)≤16a ②当a<0时 x -3 (-3,-2) -2 (-2,0) (0,2) 2 f'(x) - + - f(x) -4a ↘ ↗ -4a ↘ 16a 所以 当a<0时,若-3≤x≤2,则16a≤f(x)≤-4a 得或即或故 a的取值范围是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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