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如图,ABCD为矩形,CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AB=4a,BC=...

如图,ABCD为矩形,CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AB=4a,BC=CF=2a,P为AB的中点.
(1)求证:平面PCF⊥平面PDE;
(2)求四面体PCEF的体积.

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(1)证明平面PCF内的直线PC,垂直平面PDE内的两条相交直线DE,PD,就证明了平面PCF⊥平面PDE; (2)说明P到平面PCEF的距离为PQ=2a,求出的面积,然后求四面体PCEF的体积. 证明:(1)因为ABCD为矩形,AB=2BC,P为AB的中点, 所以三角形PBC为等腰直角三角形,∠BPC=45°. 同理可证∠APD=45°. 所以∠DPC=90°,即PC⊥PD. 又DE⊥平面ABCD,PC在平面ABCD内,所以PC⊥DE. 因为DE∩PD=D,所以PC⊥PDE. 又因为PC在平面PCF内,所以平面PCF⊥平面PDE; 【解析】 (2)因为CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD, 所以DE∥CF.又DC⊥CF, 所以. 在平面ABCD内,过P作PQ⊥CD于Q,则 PQ∥BC,PQ=BC=2a. 因为BC⊥CD,BC⊥CF, 所以BC⊥平面CEF,即PQ⊥平面CEF, 亦即P到平面CEF的距离为PQ=2a .. (注:本题亦可利用求得)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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