Question

设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4，当x∈[-3，-2]时，f（x）=4x+12，则f（112.5）的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

Answer

由f（x）+f（x+1）=4我们可得，我们易得f（x+2）=4-f（x+1）=4-[4-f（x）]=f（x），即f（x）是周期为2的偶函数，由函数周期性和奇偶性的性质，我们易将f（112.5）的自变量转化到区间[-3，-2]中，进而得到f（112.5）的值．
【解析】
∵对任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4
∴f（x+1）=4-f（x）
∴f（x+2）=4-f（x+1）=4-[4-f（x）]=f（x）
∴f（x）是周期为2的偶函数
f（112.5）=f（112.5-2×55）=f（2.5）=f（-2.5）
-2.5∈[-3，-2]，所以f（-2.5）=4×（-2.5）+12=2
f（112.5）=2
故选A