Question

方程组的有理数解（x，y，z）的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

首先对z进行分类讨论：①若z=0，则解得或；②若z≠0，则由xyz+z=0得xy=-1先求得x、y的值，进一步确定方程组的正整数解组数．
【解析】
若z=0，则解得或
若z≠0，则由xyz+z=0得xy=-1．       ①
由x+y+z=0得z=-x-y．             ②
将②代入xy+yz+xz+y=0得x2+y2+xy-y=0．           ③
由①得，代入③化简得（y-1）（y3-y-1）=0．
易知y3-y-1=0无有理数根，故y=1，由①得x=-1，由②得z=0，与z≠0矛盾，
故该方程组共有两组有理数解或