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已知函数f(x)=(1-x)ex,设Q1(x1,0),过P1(x1,f(x1))...

已知函数f(x)=(1-x)ex,设Q1(x1,0),过P1(x1,f(x1))作函数y=f(x)的图象的切线与x轴交于点Q2(x2,0),再过P2(x2,f(x2))作函数y=f(x)的图象的切线与x轴交于点Q3(x3,0),…,依此下去,过Pn(xn,f(xn))(n∈N*)作函数y=f(x)的图象的切线与x轴交于点Qn+1(xn+1,0),….若x1=2,
(Ⅰ)试求出x2的值并写出xn+1与xn的关系;
( II)求证:manfen5.com 满分网

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(1)可通过求函数f(x)=(1-x)ex的导数来求得过Pn(xn,f(xn))(n∈N*)作函数y=f(x)的图象的切线方程的斜率,从而求得切线方程,然后可令y=0,即可得到xn+1与xn的关系; (2)由(1)得到,x1=2>1,先用数学归纳法法证明xn>1,从而得,利用累加法可证得,结合,从而有;再利用,可证明>n-1,问题即可得证明. 【解析】 (I)由题意得:导数为f′(x)=-xex,可求得---(3分) 过Pn(xn,f(xn))(n∈N*)作函数y=f(x)的图象的切线方程为:, 令y=0得:,即---(6分) (II)先用数学归纳法证明:xn>1 当n=1时x1=2>1成立; 假设当n=k时成立,即xk>1. 则(基本不等式),则当n=k+1时也成立. 故xn>1,---(9分) 则可得,故,又,则 ---(11分) 由(I)得,则则 xn+1>1,则xn+1-2+n>n-1 因此,.---(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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