Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，若AB=3，BC=4，AA₁=7，且AB⊥BC，设D是BB₁上一点．
（Ⅰ）求点B到平面AA₁C₁C的距离；
（Ⅱ）当△A₁CD的周长最小时，试求二面角B-AC-D的大小．

Answer

（I）先作出表示点B到平面ACC1A1的距离的线段，过B作BE⊥AC于E，则BE⊥ACC1A1，则BE为点B到平面ACC1A1的距离，再进行求解；
（II）利于侧面ABB1A1展到平面CC1B1B上，则当A1，D，C共线时△A1CD的周长最小，∠DEB即为所求二面角的平面角，从而可求．
【解析】
（I）过B作BE⊥AC于E，则BE⊥ACC1A1，则BE为点B到平面ACC1A1的距离，---（3分）
可得点B到平面ACC1A1的距离．---（6分）
（II）如图将侧面ABB1A1展到平面CC1B1B上，则当A1，D，C共线时△A1CD的周长最小，此时DB=4，---（9分）
又DE⊥AC，故∠DEB即为所求二面角的平面角，---（11分）
则，故所求二面角的大小为．---（14分）

注：对于向量法也进行相应给分．