Question

点P_n（x_n，y_n）在曲线C：y=e^-x上，曲线C在点P_n处的切线l_n与x轴相交于点Q_n（x_n+1，0），直线t_n+1：x=x_n+1与曲线C相交于点P_n+1（x_n+1，y_n+1），（n=1，2，3，…）．由曲线C和直线l_n，t_n+1围成的图形面积记为S_n，已知x₁=1．
（Ⅰ）证明：x_n+1=x_n+1；
（Ⅱ）求S_n关于n的表达式；
（Ⅲ）记数列{S_n}的前n项之和为T_n，求证：（n=1，2，3，…）．

Answer

（Ⅰ）对函数y=e-x进行求导，推断出切线ln的斜率，则可求得切线ln的方程把y=0代入即可求得，即xn+1=xn+1．
（Ⅱ）根据根据x1=1及（1）中的递推式可求得xn，进而利用定积分的公式和性质求得答案．
（Ⅰ）证明：因为y=e-x，所以y'=-e-x，
则切线ln的斜率，所以切线ln的方程
为，令y=0，
得，即xn+1=xn+1
（Ⅱ）【解析】
因为x1=1，所以xn=n，
所以