Question

如图（甲），在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，且BC=CD，AB=2，F、H、G分别为AC，AD，DE的中点，现将△ACD沿CD折起，使平面ACD⊥平面CBED，如图（乙）．
（1）求证：平面FHG∥平面ABE；
（2）记BC=x，V（x）表示三棱锥B-ACE的体积，求V（x）的最大值；
（3）当V（x）取得最大值时，求二面角D-AB-C的余弦值．P_n（x_n，y_n）

Answer

（1）欲证平面FHG∥平面ABE，只需证明线面平行，故只需要在平面FHG中寻找两条相交直线与平面平行；
（2）由于平面ACD⊥平面CBED 且AC⊥CD，所以AC⊥平面CBED，故可表示三棱锥B-ACE的体积，利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件；
（3）求解二面角D-AB-C的余弦值，建立空间直角坐标系，利用向量法求解，分别求出平面ACB的法向量，平面ABD的法向量，利用可以求解
【解析】
（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形CBED为正方形
如图（乙）∵F、H、G分别为AC，AD，DE的中点
∴FH∥CD，HG∥AE--------------------------------------（1分）
∵CD∥BE∴FH∥BE
∵BE⊂面ABE，FH⊄面ABE
∴FH∥面ABE-------------------------------------（3分）
同理可得HG∥面ABE
又∵FH∩HG=H
∴平面FHG∥平面ABE-----------------（4分）
（2）∵平面ACD⊥平面CBED 且AC⊥CD
∴AC⊥平面CBED----------------------------------------------------（5分）
∴V（x）=VA-BCE=
∵BC=x∴AC=2-x（0＜x＜2）
∴V（x）==--------------（7分）
∵
∴V（x）
当且仅当x=4-2x即时取“=”
∴V（x）的最大值为-------------------------------------------（9分）
（3）以点C为坐标原点，CB为x轴建立空间直角坐标系
如右图示：由（2）知当V（x）取得最大值时，即BC=
这时AC=，∴B，，-----（10分）
∴平面ACB的法向量
设平面ABD的法向量为
∵，-------------（11分）
由，得，
令c=1得----------------------------------------（12分）
设二面角D-AB-C为θ，则---（14分）