Question

指针位置	A区域	B区域	C区域
返存金额（单位：元）	60	30

五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如
图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的边界时，重新转一次）指针所在的区域及对应的返劵金额见右上表．
例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．
（1）已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望，标准差，求n、p的值；
（2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η（元）．求随机变量η的分布列和数学期望．

Answer

（1）依题意知，ξ服从二项分布ξ～B（n，p），再由二项分布的期望公式与二项分布的方差公式可得方程组，进而求出p与n的值．
（2）设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C，再计算出，以及随机变量η的可能值为0，30，60，90，120，然后根据相互独立事件的概率乘法公式分布得到其发生的概率，假若求出离散型随机变量的分布列与期望．
【解析】
（1）依题意知，ξ服从二项分布ξ～B（n，p），
∴由二项分布的期望公式可得：--------------------------①-----------------（1分）
又因为根据二项分布的方差公式可得：-----------------②-------（2分）
由①②联立解得：---------------------------------------（4分）
（2）设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则．
由题意得，该顾客可转动转盘2次，所以随机变量η的可能值为0，30，60，90，120．---------------------（5分）
则有；；；
；．-----------------------------（10分）
所以，随机变量η的分布列为：

P 30 60 90 120
η

所以其数学期望-------------------（12分）