Question

一个多面体的直观图，前视图（正前方观察），俯视图（正上方观察），侧视图（左侧正前方观察）如下所示．
（1）求AD与平面A₁BCC₁的位置关系并说明理由，求点A₁与点C的连线与平面ABCD所成角的大小；
（2）求此多面体的表面积和体积．

Answer

由视图可知，直观图为直三棱柱，高为a，底面为底边与高均为a的等腰三角形．
 （1）由于AD∥BC，BC⊂平面A1BCC1，根据线面平行的判定可得AD∥平面A1BCC1，取AB的中点O，连接OA1，CO，A1C，则OA1⊥平面ABCD，从而∠A1CO为点A1与点C的连线与平面ABCD所成角，故可求；
（2）根据直观图为直三棱柱，高为a，底面为底边与高均为a的等腰三角形，可求表面积与体积
【解析】
由视图可知，直观图为直三棱柱，高为a，底面为底边与高均为a的等腰三角形．
 （1）由于AD∥BC，BC⊂平面A1BCC1，∴AD∥平面A1BCC1，
取AB的中点O，连接OA1，CO，A1C，则OA1⊥平面ABCD，
∴∠A1CO为点A1与点C的连线与平面ABCD所成角
在直角三角形A1CO中，A1O=a，OC=
∴tan∠A1CO=
∴∠A1CO=；
（2）根据直观图的多面体的表面积为
体积为