Question

已知F₁，F₂分别是双曲线的左右焦点，以坐标原点O为圆心，以双曲线的半焦距c为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，点A在y轴上的射影为H，
且．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若AF₁交双曲线于点M，且，求λ．

Answer

（1）根据题意与，可求，A在双曲线上，将点A的坐标代入，
整理后利用a2+b2=c2即可求得双曲线的离心率；
（2）由，结合已知条件可求得，将点A、M的坐标代入，得到方程组，从而转化为离心率与λ的函数关系，从而可求得λ．
【解析】
（1）由已知F1（-c，0），点A在y轴上的射影为H，…（1分）
∵
∴，∵A在双曲线上
∴…（4分）．
b2c2-3a2c2=4a2b2，c4-8a2c2+4a4=0，e4-8e2+4=0
，…（6分）
（2）∵∴…（8分）
由A，M都在双曲线上，
得…（10分）
由（1）得 代入（2），
…（12分）