Question

已知数列a，b，c为各项都是正数的等差数列，公差为d（d＞0），在a，b之间和b，c之间共插入m个实数后，所得到的m+3个数所组成的数列{a_n}是等比数列，其公比为q．
（1）若a=1，m=1，求公差d；
（2）若在a，b之间和b，c之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m个数的乘积（用a，c，m表示），求证：q是无理数．

Answer

（1）由题意可得1+d=q2，1+2d=q3，消去q可得 其正根为 d=．若插入的一个数在b，c之间，
则 1+d=q，1+2d=q3，消去q可得 1+2d=（1+d）3，此方程无正根．
（2）设在 a，b之间插入l个数，在 b，c之间插入t个数，则l+t=m，①若q为正数，则 a2•a3…am+2=，
所插入 m 个数的积为 =•；②若q 为负数，所插入m个数的积为 =±．
（3）在等比数列{an}，qm+2=2 ql+1 -1，m≥l，若q为整数，2 ql+1 -qm+2 是q的倍数，故1也是q的倍数，矛盾．若q为分数，则 ym+2 是x的倍数，即y是x的倍数，矛盾，故q只能是无理数．
【解析】
（1）由a=1，且等差数列a，b，c的公差为d，可知 b=1+d，c=1=2d，
若插入的一个数在 a，b之间，则 1+d=q2，1+2d=q3，
消去q可得 （1+2d）2=（1+d）3，其正根为 d=．
若插入的一个数在b，c之间，则 1+d=q，1+2d=q3，
消去q可得 1+2d=（1+d）3，此方程无正根．故所求公差 d=．…（4分）
（2）设在 a，b之间插入l个数，在 b，c之间插入t个数，则l+t=m，在等比数列{an} 中，
∵a1=a，al+2=b=，am+3=c，ak•am+4-k=a1•am+3…，
∴（a2•a3…am+2）2=（a2•am+2 ）•（ a3•am+1）…（am+1•a3 ）（am+2•a2）=（ac）m+1，
 又∵ql+1=＞0，qt+1=＞0，l，t 都为奇数，∴q 可以为正数，也可以为负数．
①若q为正数，则 a2•a3…am+2=，所插入 m 个数的积为
=•；
②若q 为负数，a2，a3，…，am+2 中共有  个负数，
当  是奇数，即 m=4k-2，k∈N+ 时，所插入m个数的积为 = ；
当是偶数，即m=4k，k∈N+时，所插入m个数的积为=-．
综上所述，所插入m个数的积为 =±．
（3）∵在等比数列{an}，由ql+1 ==，可得 ql+1 -1=，同理可得 ，
∴qm+2-1=2（ql+1 -1），即qm+2=2 ql+1 -1，m≥l，
假设q是有理数，若q为整数，∵a，b，c是正数，且d＞0，∴|q|＞1，
在 2 ql+1 -qm+2=1中，∵2 ql+1 -qm+2 是q的倍数，故1也是q的倍数，矛盾．
若q不是整数，可设q= （其中x，y 为互素的整数，x＞1 ），
则有 =2-1，即 ym+2=xm-l+1（2yl+1-xl+1），
∵m≥l，可得 m-l+1≥1，∴ym+2 是x的倍数，即y是x的倍数，矛盾．
∴q是无理数．