Question

若不等式（a²-3a+2） x²+（a-1）x+2＞0恒成立，则a的取值范围    ．

Answer

①讨论当a2-3a+2=0时，解得a=1满足不等式②a2-3a+2≠0时令y=（a2-3a+2）x2+（a-1）x+2．利用一元二次函数图象讨论不等式左边取值情况．要使对一切实数不等式都成立函数y=（a2-3a+2）x2+（a-1）x+2图象必须开口向上，且判别式小于0．可解得a范围③取两种情况下范围的并集，可得a最终取值范围．
（1）当a2-3a+2=0时，即a=1或a=2
显然当a=1时，不等式变形为 2＞0，对一切实数x都成立
当a=2时，不等式变形为 x+2＞0，不能对一切实数x都成立，故此时a=1满足
（2）当a2-3a+2≠0时，要使对一切实数不等式都成立必须有开口向上，且判别式小于0
因此有a2-3a+2＞0，（a-1）2-8（a2-3a+2）＜0
解得a＜1或a＞；
综合（1）（2）a≤1或a＞．