Question

已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设在点（1，g（1））处的切线与y轴垂直，求g（x）的极大值．

Answer

（1）对函数求导可得，从而可得，由函数f（x）的图象过点（0，-2）可得f（0）=-2代入可求．
（2）对函数g（x）求导，由题意可得g′（1）=0，代入可求a的值及函数g（x），研究函数g（x）的单调性，结合单调性求函数的极大值．
【解析】
（1）由已知得（2分）
又f（0）=-2∴（4分）
∴m=-1，（5分）
∴f（x）=ln（x+1）-2（6分）
（2）∵．
∴．（8分）
又x∈（-1，0）∪（0，+∞）
由，得a=2（10分）
∴
∴
由g'（x）＞0，解得或x＞1；
由g'（x）＜0，解得或x≠0．（12分）
则g（x）的单调增区间是，
单调递减区间是．
故g（x）极大值为，
极小值为g（1）=1+2ln2-4=-3+2ln2．（14分）