Question

已知y=log₄（2x+3-x²）．
（1）求定义域；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求y的最大值，并求取得最大值的x值．

Answer

（1）由真数2x+3-x2＞0求解即可．
（2）用复合函数单调性求解，先令u=2x+3-x2，且u＞0，转化为两个基本函数：y=log4u在定义域上是增函数，再用二次函数法研究u的单调区间，要考虑到定义域，然后用“同增异减”得到结果．
（3）先求得u的范围，再利用对数函数的单调性求得原函数的最值．
【解析】
（1）由真数2x+3-x2＞0，解得-1＜x＜3．
∴定义域是{x|-1＜x＜3}．
（2）令u=2x+3-x2，则u＞0，y=log4u．
由于u=2x+3-x2=-（x-1）2+4，
其增区间是（-1，1]，减区间是[1，3）．
又y=log4u在u∈（0，+∞）上是增函数，
故该函数的增区间是（-1，1]，减区间是[1，3）．
（3）∵u=2x+3-x2=-（x-1）2+4≤4，
∴y=log4（2x+3-x2）≤log44=1．
∴当x=1，u取得最大值4时，y就取得最大值1