Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）．点M（3，m）在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证：•=0；
（3）求△F₁MF₂面积．

Answer

（1）双曲线方程为x2-y2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）先求出•的解析式，把点M（3，m）代入双曲线，可得出•=0，
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．
【解析】
（1）∵e=，∴可设双曲线方程为x2-y2=λ．
∵过点（4，-），∴16-10=λ，即λ=6．
∴双曲线方程为x2-y2=6．
（2）证明：∵=（-3-2，-m），=（2-3，-m），
∴•=（3+2）×（3-2）+m2
=-3+m2，
∵M点在双曲线上，∴9-m2=6，即m2-3=0，
∴•=0．
（3）△F1MF2的底|F1F2|=4，由（2）知m=±．
∴△F1MF2的高h=|m|=，∴S△F1MF2=6．