Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁为a（a∈R）设数列的前n项和为S_n，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（Ⅱ）记A_n=+++…+，B_n=++…+，当n≥2时，试比较A_n与B_n的大小．

Answer

（Ⅰ）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d，则数列的通项公式和前n项的和可得．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的an和Sn，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理An与Bn，最后对a＞0和a＜0两种情况分情况进行比较．
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由（）2=•，
得（a1+d）2=a1（a1+3d），因为d≠0，所以d=a1=a
所以an=na，Sn=
（Ⅱ）【解析】
∵=（-）
∴An=+++…+=（1-）
∵=2n-1a，所以==为等比数列，公比为，
Bn=++…+=•=•（1-）
当n≥2时，2n=Cn+Cn1+…+Cnn＞n+1，即1-＜1-
所以，当a＞0时，An＜Bn；当a＜0时，An＞Bn．