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在下列由正数排成的数表中,每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于q,...

在下列由正数排成的数表中,每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于q,每列上的数从上到下都成等差数列.aij表示位于第i行第j列的数,其中manfen5.com 满分网,a42=1,manfen5.com 满分网
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(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求aij的计算公式;
(Ⅲ)设数列{bn}满足bn=ann,{bn}的前n项和为Sn,试比较Sn与Tn=manfen5.com 满分网( n∈N*)的大小,并说明理由.
(Ⅰ)利用和求出a44,再利用每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于q来求公比即可. (Ⅱ)先求出ai4,然后在利用第i行成等比数列,且公比,即可求出aij的计算公式; (Ⅲ)有(Ⅱ)的结论求出bn的通项,再利用错位相减法求出Sn,然后研究出Sn与Tn=对应的函数的单调性,利用单调性来比较Sn与Tn=的大小即可. 【解析】 (Ⅰ)设第4列公差为d,则. 故,于是. 由于aij>0,所以q>0,故.(3分) (Ⅱ)在第4列中,. 由于第i行成等比数列,且公比, 所以,.(6分) (Ⅲ)由(Ⅱ)可知.即bn=. 所以Sn=b1+b2+b3++bn=a11+a22+a33++ann. 即, 故. 两式相减,得=, 所以.(8分) 设f(x)=2--(x>0), 即f(x)=2--=2-=2-(2+x)2-x. 因为f′(x)=-[2-x+(2+x)2-x(-1)ln2]=2-x[(2+x)ln2-1] =2-x[ln22+x-lne]=2-xln, 且当x>0时,x+2>2.所以22+x>22=4. 于是>>1. 所以ln>0. 又2-x>0, 所以在(0,+∞)上f′(x)=2-xln>0. 因此函数f(x)=2--在(0,+∞)单调递增. 所以(n∈N*)是递增数列.(10分) 同理设g(x)=(x>0), 因为g′(x)=•=-<0(x>0), 故g(x)=在(0,+∞)单调递减. 所以Tn=(n∈N*)是递减数列.(12分) 容易计算S1=f(1)=,S2=f(2)=1,S3=f(3)=1,S4=f(4)=1, T1=g(1)=1,T2=g(2)=1,T3=g(3)=1,T4=g(4)=1, 显然S1<T1,S2<T2,S3<T3,S4>T4, 所以当n≤3时,Sn<Tn;当n>3时,Sn>Tn.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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