Question

设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x²=2py（p≠0）的异于原点的交点
（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标
（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y²=1上，p=，
求证：点Q落在双曲线4x²-4y²=1上
（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．

Answer

（1）将直线方程与抛物线方程联立姐方程求出交点坐标，
（2）将直线方程与抛物线方程联立求出交点Q的坐标；将P的坐标代入椭圆方程得到a，b满足的关系，变形得到Q的坐标满足双曲线方程，证出点Q在双曲线上．
（3）设出Q所在的抛物线方程，将Q的坐标代入得到a，b满足的方程；通过对p，c的分类讨论得到P所在的曲线．
【解析】
（1）当a=1，b=2，p=2时，
解方程组得即点Q的坐标为（8，16）（3分）
（2）证明：由方程组得
即点Q的坐标为（5分）
∵P时椭圆上的点，即=1
∴，
因此点Q落在双曲线4x2-4y2=1上（8分）
（3）设Q所在的抛物线方程为y2=2q（x-c），q≠0（10分）
将代入方程，得，即b2=2qa-2qca2（12分）
当c=0时，b2=2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；
当qc=时，，此时点P的轨迹落在圆上；
当qc＞0且qc≠时，=1，此时点P的轨迹落在椭圆上；
当qc＜0时=1，此时点P的轨迹落在双曲线上；（16分）