Question

在长方体ABCD-A₁B₁C_lD_l中，已知AB=4，BC=2，CC_l=5，E，F分别是CD，CC_l上的点，A₁F⊥平面BEF，
（I）求CE，CF的长；
（Ⅱ）若CF＞2，求二面角A₁-BE-F的余弦值．

Answer

（I）由题意画出一图形，因A1F⊥平面BEF，进而得到A1F⊥BE，在有线线垂直的到相似的三角形，得到CE与CE的长度；
（II）利用图形利用二面角平面角的概念找到二面角的平面角，在三角形中求解出二面角的三角函数值．
【解析】
由题意做出图形：
（I）连接AC，D1F，
∵A1F⊥平面BEF，∴A1F⊥BE，
又BE⊥CF∴BE⊥平面A1ACF，
∴BE⊥AC∴△BCE∽△ABE，
∴⇒CE=1
∵EF⊥A1F，EF⊥A1D1，EF⊥平面A1D1F∴EF⊥D1F∴⇒CFCE=1或4
（II）∵CF＞2∴CF=4  设AC与BE交与点G，则AG⊥BE，FG⊥BE∴∠A1GF就是A1-BE-F的平面角AG=，CG=
∴cos∠A1∴二面角A1-BE-F的余弦值为．
故答案为：（I）CE=1，CF=1或4，（II）．