Question

在△ABC中，角A，B，C的对边依次为a，b，c，且A，B，C依次成等差数列．
（1）若=-，b=，求a+c的值；
（2）若A＜C，求2sin²A+sin²C的取值范围．

Answer

（1）先由等差数列的知识求出角B的值，再由两向量的数量积运算求出a与c的乘积，最后根据余弦定理a+c的值．
（2）先根据二倍角公式对2sin2A+sin2C进行降幂，再将A的关系转化为C的关系，最后根据C的范围求出最后答案．
【解析】
（1）∵A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，
由•=-得，c•acos=-，∴ac=3，①
又由余弦定理得b2=a2+c2-2accos，∴3=a2+c2-ac，∴a2+c2=6②
由①、②得，a+c=2．
（2）∴B=60°，∴A=120°-C，
2sin2A+sin2C=2-2cos2A+1-cos2C
=3-2cos（240°-2C）+cos2C
=3-2cos240°cos2C-2sin240°sin2C-cos2C
=3+sin2C
又0°＜A＜C，可得60°＜C＜120°，即120°＜2C＜240°，
∴-＜sin2C＜，＜（3+sin2C）＜，
即2sin2A+sin2C的取值范围是（，）．