Question

已知.

（1）求的极值，并证明：若有；

（2）设，且，，证明：，

若，由上述结论猜想一个一般性结论（不需要证明）；

（3）证明：若，则.

Answer

(1)详见解析；(2) 详见解析；(3) 详见解析.

【解析】

试题分析：(1)利用求导探求函数的单调性，进而确定其极值；借助结论时恒成立，证明；（2）借助第一问的结论，通过拼凑技巧进行构造要证明的不等式；（3）借助第二问的猜想结论，进行构造，利用对数运算进行化简整理即可得到证明的结论.

试题解析：（1）则

当x∈（0，1）时，x∈（1，＋∞）时，

∴在（0，1）递增，在（1，＋∞）递减，

                                               2分

∴当时恒成立，即时恒成立。

∴          4分

证明：，

（2）证明：设，且，令，则，且

，，

由（1）可知    ①

               ②

①+②，得

∴       8分

猜想：若，且时有

        9分

（3）证明：令

由猜想结论得

=

∴，

即有。                    14分

考点：(1)函数的极值；（2）不等式的证明.