Question

已知函数，它的一个极值点是．

(Ⅰ) 求的值及的值域；

(Ⅱ)设函数，试求函数的零点的个数．

Answer

(Ⅰ) 当时，的值域为；当时，的值域为；(Ⅱ) 当时，函数有2个零点；当时，函数没有零点．

【解析】

试题分析：(Ⅰ)因为它的一个极值点是，所以有，可求出的值，从而求出值域；(Ⅱ) 函数的零点个数问题可转化为函数的图象与函数的图象的交点个数问题．

试题解析：（1），因为它的一个极值点是，所以有，可得或．当时，分析可知：在区间单调递减，在区间单调递增；由此可求得，的值域为；当时，分析可知：在区间单调递减，在区间单调递增；由此可求得，的值域为．

(Ⅱ)函数的零点个数问题可转化为函数的图象与函数的图象的交点个数问题．．因为，所以，所以．设，则，所以函数在区间上单调递增，所以，即有．所以．所以，函数在区间上单调递增．

（ⅰ）当时，，，，

而，结合（1）中函数的单调性可得，此时函数的图象与函数的图象有2个交点，即函数有2个零点．

(ⅱ)当时，，由于，所以，此时函数的图象与函数的图象没有交点，即函数没有零点．

综上所述，当时，函数有2个零点；当时，函数没有零点．

考点：1、函数极值点，2、利用导数判断单调性，3、函数的图像与性质．